Mira Bro, una de las formas mas faciles que pueda aceptar pagos es por Paypal, inscribete en esa pagina, es gratis.
Ya que te diste de alta en la pagina ppal. vete a la pestaña vender en tu web, te aparece otra ventana donde le das click a Pagos en sitio web vercion estandar y ahi vas a ver lo que necesitas.
Navegale y vas a ver que es facil, saludos.

Hay muchos sistemas libres para tiendas y prácticamente todos soportan pagos con tarjeta, paypal, etc: prestashop, magento, joomla/virtuemart, oscommerce y sus derivados.

Si quieres aceptar pagos con tarjeta directamente te va a salir en una buena lana, hasta donde tengo entendido. La opción más viable y sencilla es PayPal.